Pozičné číselné sústavy

Pozičné číselné sústavy.
Prevody medzi číselnými sústavami.
Záporné čísla.

Pozičné číselné sústavy

Polyadické - pozičné - sústavy

Princip pozičnej sústavy sa k nám do Európy dostal približne v 12. storočí od Arabov cez Španielsko. K nim sa dostal z Indie. Jeho hlavnou myšlienkou je, že ak máme číselnú sústavu so základom "z" t.j. sústava ktorá má z jednotiek včítane 0, potom na pozície vedľa seba budeme písať násobky základu. Prvý stĺpec bude obsahovať len jednotky, druhý počet "z" násobkov jednotiek. Ďaľší "z . z" násobkov

A=a_n.zⁿ + a_n-1.z^n-1 + ...... + a_i.zⁱ + ..... + a₁.z¹ + a₀.z⁰

Dekadická číselná sústava.

Nejznámejšou polyadickou sústavou je desiatková sústava - používajú ju arabské číslice. Číslo sa v nej vyjadruje ako súčet mocnín čísla 10 vynásobených jednoduchým súčiniteľom ktorý má hodnotu 0,1,...,9. Súčinitele nazývame číslice. Na ich zobrazenie slúži jeden znak. Číslo A môžeme teda napísať

A = a_n.10ⁿ + a_n-1.10^n-1 + ...... + a_i.10ⁱ + ..... + a₁.10¹ + a₀.10⁰

^{Číslice:
0, 1}^,²^,³^,⁴^,⁵^,⁶^,⁷^,⁸^,⁹

Najčastešia bežne používaná zhustená forma zápisu je:

A = a_na_n-1 ... a_i ... a₁a₀

Takto možno vyjadriť všetky nezáporné čísla. Ak potrebujeme zobecniť na racionálne čísla - t.j. čísla s desatinnou bodkou, zavedieme záporné mocniny až do radu m. Výraz potom zmeníme na

A = a_n.10ⁿ + ... + a₁.10¹ + a₀.10⁰ + a_-1.10^-1 + a_-2.10^-2 + ... + a_-m.10^-m

a číslo potom zapisujeme stručne tak, že bodkou oddelíme časť kladných a záporných mocnín. Takto možno vyjadriť väčšinu racionálnych čísel. Existujú však racionálne čísla, ktoré nie je možné presne vyjadriť iba nekonečným periodickým výrazom. Pri použití algoritmu delenia sa postupne získavajú číslice podielu a proces sám o sebe by nikdy neskončil. Musíme ho ukončiť umelo vzhľadom k tomu, že dĺžka čísla v počítači musí byť konečná. Toto ukončenie zanáša do vyjadrenia hodnoty čísla nepresnosť ktorá, ak neprekročí určitú úroveň, môže byť tolerovaná.

Zobecnenie na záporné čísla doplením znamienka pred číslo je vhodné pre ľudské chápanie, nie však pre počítač.

A=a_n.zⁿ + a_n-1.z^n-1 + ...... + a_i.zⁱ + ..... + a₁.z¹ + a₀.z⁰

Pri zobecnení pre iný základ získame napr. pri z=2 dvojkovú - binárnu sústavu (vhodná pre vedecko-technické vypočty) použité číslice predstavujú len hodnoty 0 a 1, pri z=8 získame osmičkovú - oktalovú sústavu kde použité číslice majú hodnotu 0, 1, 2 .. 7, pri z=16 získame šestnáctkovú - hexadecimálnu sústavu. Číslice v tejto sústave majú hodnotu 0,1,2..9,10,11,12,13,14 a15. V šestnackovej sústave sa číslice 10 až 15 pre prehľadnosť nahradzujú znakmi A až F.

Binárna číselná sústava.

A=a_n.2ⁿ + a_n-1.2^n-1 + ...... + a_i.2ⁱ + ..... + a₁.2¹ + a₀.2⁰

^Číslice:^0,
1

^{Príklad: 10101101110b}

Osmičková číselná sústava.

A=a_n.8ⁿ + a_n-1.8^n-1 + ...... + a_i.8ⁱ + ..... + a₁.8¹ + a₀.8⁰

^Číslice:^0,
1^,²^,³^,⁴^,⁵^,⁶^,⁷

^{Príklad: 377o}

Šestnácková číselná sústava.

A=a_n.16ⁿ + a_n-1.16^n-1 + ...... + a_i.16ⁱ + ..... + a₁.16¹ + a₀.16⁰

^{Číslice: 0,
1}^,²^,³^,⁴^,⁵^,⁶^,⁷^,⁸^,⁹^,^A^,^B^,^C^,^D^,^E^,^F

^{Príklad: 03DFh}

Prevody medzi číselnými sústavami.

	2³	2²	2¹	2⁰
0	0	0	0	0
1	0	0	0	1
2	0	0	1	0
3	0	0	1	1
4	0	1	0	0
5	0	1	0	1
6	0	1	1	0
7	0	1	1	1
8	1	0	0	0
9	1	0	0	1
A	1	0	1	0
B	1	0	1	1
C	1	1	0	0
D	1	1	0	1
E	1	1	1	0
F	1	1	1	1

Záporné čísla.

Je to len dohoda v rámci ktorej budeme považovať číslo v 1 slovnom registri za kladné ak najvyšší bit bude "0" resp. záporné ak najvyšší bit bude rovný "1". Takto zapísané údaje strácajú jeden významový bit a zapísané hodnoty majú len polovičnú veľkosť čísel ktoré sa zmestia do 1 slova. Aby sa záporná hodnota dala použiť pre výpočty, dospieme k zápornému číslu prevodom: Kladné číslo sa zmení na záporné ak kladný údaj predtým invertujeme t.j. 1 a 0 navzájom zameníme a k takto získanému výsledku pripočítame +1. Takýto údaj ak spočítavame v rámci aritmetickej jednoty, dostávame správne výsledky.